球体积的前世今生

时间:2020-12-20

转自《科普中国-科学原理一点通》


俗话说“前人栽树后人乘凉”,古人的一些智慧结晶给我们的生活带来了非常多的便捷。关于球体积的计算,中西方数学家都做出了杰出的贡献,因此,我们现在可以直接用数学公式V=(4/3)πr³轻松地计算出球体的体积。这个公式虽然简单,却凝结了古今中外多位数学家的心血与汗水。那么这个公式从何而来呢?


在西方,古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”,早在公元前3世纪,阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。阿基米德将他自己对球体积的计算一直引以为豪。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱,以及一个辅助的圆锥,其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片,并用力学平衡的方法比较它们的体积,最后求得球体积的正确公式,阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。


虽然西方数学家阿基米德对球体积的计算研究的时间更早,但是在我国南北朝时期,祖冲之父子独立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究内容要丰富,涉及的问题更复杂。祖冲之和他的儿子祖暅一起,用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。


《九章算术》中认为,球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比,刘徽为《九章算术》作注时指出,原书的说法是不正确的,只有“牟合方盖”(垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积)与球体积之比,才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。但刘徽没有求出两圆柱体垂直相交部分的体积公式,所以也就得不出球体积公式。祖冲之父子应用“等高处横截面积常相等的两个立体,其体积也必然相等”这一原理,求出了“牟合方盖”的体积。而球体体积等于π/4乘以“牟合方盖”体积,从而最终算出球体积,这个公式就是著名的“祖暅公理”。

由上图,我们可知:(1/2)V球=(2/3)πr³,最终可得,V球=(4/3)πr³。球体积的公式便由此推导而来。


Copyright © 江苏省工业与应用数学学会   联系电话:65692047   备案号:苏ICP备18058373号-1   
技术支持:无锡开云信息技术有限公司   联系电话:0510-85229289
您是第【530365】位访问者